逻辑回归算法的原理及实现(LR)
Logistic回归虽然名字叫”回归” ，但却是一种分类学习方法。使用场景大概有两个：第一用来预测，第二寻找因变量的影响因素。逻辑回归(LogisticRegression,LR)又称为逻辑回归分析，是分类和预测算法中的一种。通过历史数据的表现对未来结果发生的概率进行预测。例如，我们可以将购买的概率设置为因变量，将用户的特征属性，例如性别，年龄，注册时间等设置为自变量。根据特征属性预测购买的概率。逻辑回归与回归分析有很多相似之处，在开始介绍逻辑回归之前我们先来看下回归分析。
回归分析用来描述自变量x和因变量Y之间的关系，或者说自变量X对因变量Y的影响程度，并对因变量Y进行预测。其中因变量是我们希望获得的结果，自变量是影响结果的潜在因素，自变量可以有一个，也可以有多个。一个自变量的叫做一元回归分析，超过一个自变量的叫做多元回归分析。
下面是一组广告费用和曝光次数的数据，费用和曝光次数一一对应。其中曝光次数是我们希望知道的结果，费用是影响曝光次数的因素，我们将费用设置为自变量X，将曝光次数设置为因变量Y，通过一元线性回归方程和判定系数可以发现费用(X)对曝光次数(Y)的影响。
以下为一元回归线性方式，其中y是因变量，X是自变量，我们只需求出截距b0和斜率b1就可以获得费用和曝光次数之间的关系，并对曝光次数进行预测。这里我们使用最小二乘法来计算截距b0和斜率b1。最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
下表中是使用最小二乘法计算回归方程的一些必要的计算过程。在表中最左侧的两列分别为自变量X和因变量Y，我们首先计算出自变量和因变量的均值，然后计算每一个观测值与均值的差，以及用于计算回归方程斜率b1所需的数据。
根据表中的数据按公式计算出了回归方程的斜率b1，计算过程如下。斜率表示了自变量和因变量间的关系，斜率为正表示自变量和因变量正相关，斜率为负表示自变量和因变量负相关，斜率为0表示自变量和因变量不相关。
求得斜率b1后，按下面的公式可以求出Y轴的截距b0。
将斜率b1和截距b0代入到回归方程中，通过这个方程我们可以获得自变量和因变量的关系，费用每增加1元，曝光次数会增长7437次。以下为回归方程和图示。
在回归方程的图示中，还有一个R^2，这个值叫做判定系数，用来衡量回归方程是否很好的拟合了样本的数据。判定系数在0-1之间，值越大说明拟合的越好，换句话说就是自变量对因变量的解释度越高。判定系数的计算公式为SST=SSR+SSE，其中SST是总平方和，SSR是回归平方和，SSE是误差平方和。下表为计算判定系数所需三个指标的一些必要的计算过程。
根据前面求得的回归平方和(SSR)和总平方和(SST)求得判定系数为0.94344。
以上为回归方程的计算过程，在根据费用预测曝光数量的场景下，我们可以通过回归方程在已知费用的情况下计算出曝光数量。逻辑回归与回归方程相比在线性回归的基础上增加了一个逻辑函数。例如通过用户的属性和特征来判断用户最终是否会进行购买。其中购买的概率是因变量Y，用户的属性和特征是自变量X。Y值越大说明用户购买的概率越大。这里我们使用事件发生的可能性（odds）来表示购买与未购买的比值。
使用E作为购买事件，P(E)是购买的概率，P(E’)是未购买的概率，Odds(E)是事件E(购买)发生的可能性。
Odds是一个从0到无穷的数字，Odds的值越大，表明事件发生的可能性越大。下面我们要将Odds转化为0-1之间的概率函数。首先对Odds取自然对数，得到logit方程，logit是一个范围在负无穷到正无穷的值。
基于上面的logit方程，获得以下公式：
其中使用π替换了公式中的P(E),π=P(E)。根据指数函数和对数规则获得以下公式：
并最终获得逻辑回归方程：
下面根据逻辑回归方程来计算用户购买的概率，下表是用户注册天数和是否购买的数据，其中注册天数是自变量X，是否购买是自变量Y。我们将购买标记为1，将未购买标记为0。
接下来我们将在Excel中通过8个步骤计算出逻辑回归方程的斜率和截距。并通过方程预测新用户是否会购买。
第一步，使用Excel的排序功能对原始数据按因变量Y进行排序，将已购买和未购买的数据分开，使得数据特征更加明显。第二步，按照Logit方程预设斜率b1和截距b0的值，这里我们将两个值都预设为0.1。后续再通过Excel求最优解。第三步，按照logit方程，使用之前预设的斜率和截距值计算出L值。第四步，将L值取自然对数，第五步，计算P(X)的值，P(X)为事件发生的可能性(Odds)。具体的计算步骤和过程见下图。第六步，计算每个值的对数似然函数估计值（Log-Likelihood）。方法和过程见下图。第七步，将对数似然函数值进行汇总。第八步，使用Excel的规划求解功能，计算最大对数似然函数值。方法和过程见下图。设置汇总的对数似然函数值LL为最大化的目标，预设的斜率b1和截距b0是可变单元格，取消”使无约束变量为非负数”的选项。进行求解。Excel将自动求出逻辑回归方程中斜率和截距的最优解，结果如下图所示。
求得逻辑回归方程的斜率和截距以后，我们可以将值代入方程，获得一个注册天数与购买概率的预测模型，通过这个模型我们可以对不同注册天数(X)用户的购买概率(Y)进行预测。以下为计算过程。
第一步，输入自变量注册天数(X)的值，这里我们输入50天。第二步，将输入的X值，以及斜率和截距套入Logit方程，求出L值。第三步，对L值取自然对数。第四步，求时间发生可能性P(X)的概率值。注册天数为50天的用户购买的概率约为17.60%。
我们将所有注册天数的值代入到购买概率预测模型中，获得了一条注册天数对购买概率影响的曲线。从曲线中可以发现，注册天数在较低和较高天数的用户购买概率较为平稳。中间天数用户的购买概率变化较大。
我们继续在上面的计算结果中增加新的自变量“年龄”。以下是原始数据的截图。现在有年龄和注册天数两个自变量和一个因变量。
依照前面的方法计算斜率和截距的最优解，并获得逻辑回归方程，将不同的年龄和注册天数代入到方程中，获得了用户年龄和注册天数对购买的预测模型。我们通过Excel的三维图表来绘制年龄和注册天数对购买概率的影响。
从图中可以看出，购买概率随着注册天数的增加而增长，并且在相同的注册天数下，年龄较小的用户购买概率相对较高。
转载于: http://bluewhale.cc/2016-05-18/logistic-regression.html#ixzz4RbUh8R3T
一从线性回归到Logistic回归
线性回归和Logistic回归都是广义线性模型的特例。
假设有一个因变量y和一组自变量x1,x2,x3,...,xn，其中y为连续变量，我们可以拟合一个线性方程：
y=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
并通过最小二乘法估计各个β系数的值。
如果y为二分类变量，只能取值0或1，那么线性回归方程就会遇到困难: 方程右侧是一个连续的值，取值为负无穷到正无穷，而左侧只能取值[0,1]，无法对应。为了继续使用线性回归的思想，统计学家想到了一个变换方法，就是将方程右边的取值变换为[0,1]。最后选中了Logistic函数：
y=1/(1+e-x)
这是一个S型函数，值域为(0,1)，能将任何数值映射到(0,1)，且具有无限阶可导等优良数学性质。
我们将线性回归方程改写为：
y=1/(1+e-z),
其中，z=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
此时方程两边的取值都在0和1之间。
进一步数学变换，可以写为：
Ln(y/(1-y))=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
Ln(y/(1-y))称为Logit变换。我们再将y视为y取值为1的概率p(y=1)，因此，1-y就是y取值为0的概率p(y=0)，所以上式改写为：
p(y=1)=ez/(1+ez),
p(y=0)=1/(1+ez),
其中，z=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn.
接下来就可以使用”最大似然法”估计出各个系数β。
二 odds与OR复习
odds: 称为几率、比值、比数，是指某事件发生的可能性(概率)与不发生的可能性（概率）之比。用p表示事件发生的概率，则：odds=p/(1-p)。
OR：比值比，为实验组的事件发生几率(odds1)/对照组的事件发生几率(odds2)。
三 Logistic回归结果的解读
我们用一个例子来说明，这个例子中包含200名学生数据，包括1个自变量和4个自变量：
因变量: hon，表示学生是否在荣誉班(honorsclass)，1表示是，0表示否；
自变量：
female ：性别，分类变量，1=女，0=男
read: 阅读成绩，为连续变量
write: 写作成绩，为连续变量
math：数学成绩，为连续变量
1、不包含任何变量的Logistic回归
首先拟合一个不包含任何变量的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p)=β0
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
截距
-1.12546
0.164
0.000
这里的系数β就是模型中的β0 =-1.12546，
我们用p表示学生在荣誉班的概率，所以有ln(p/(1-p)=β0 =-1.12546，
解方程得：p=0.245。
odds=p/1-p=0.3245
这里的p是什么意思呢？p就是所有数据中hon=1的概率。
我们来统计一下整个hon的数据:
hon
例数
百分比
0
151
75.5%
1
49
24.5%
hon取值为1的概率p为49/(151+49)=24.5%=0.245，我们可以手动计算出ln(p/(1-p)=-1.12546，等于系数β0。可以得出关系：
β0=ln(odds)。
2、包含一个二分类因变量的模型
拟合一个包含二分类因变量female的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* female.
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
female
0.593
.3414294
0.083
截距
-1.47
.2689555
0.000
在解读这个结果之前，先看一下hon和female的交叉表：
hon
female
Total
Male
Female
0
74
77
151
1
17
32
49
Total
91
109
根据这个交叉表，对于男性（Male），其处在荣誉班级的概率为17/91，处在非荣誉班级的概率为74/91，所以其处在荣誉班级的几率odds1=(17/91)/(74/91)=17/74=0.23；相应的，女性处于荣誉班级的几率odds2=(32/109)/(77/109)=32/77=0.42。女性对男性的几率之比OR=odds2/odds1=0.42/0.23=1.809。我们可以说，女性比男性在荣誉班的几率高80.9%。
回到Logistic回归结果。截距的系数-1.47是男性odds的对数（因为男性用female=0表示，是对照组），ln(0.23)=-1.47。变量female的系数为0.593，是女性对男性的OR值的对数，ln(1.809)=0.593。所以我们可以得出关系:OR=exp(β)，或者β=ln(OR)（exp(x)函数为指数函数，代表e的x次方）。
3、包含一个连续变量的模型
拟合一个包含连续变量math的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* math.
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
math
.1563404
.0256095
0.000
截距
-9.793942
1.481745
0.000
这里截距系数的含义是在荣誉班中math成绩为0的odds的对数。我们计算出odds=exp(-9.793942)=.00005579，是非常小的。因为在我们的数据中，没有math成绩为0的学生，所以这是一个外推出来的假想值。
怎么解释math的系数呢？根据拟合的模型，有：
ln(p/(1-p))= -9.793942 +.1563404*math
我们先假设math=54，有：
ln(p/(1-p))(math=54)=-9.793942+.1563404*54
然后我们把math提高提高一个单位，令math=55，有：
ln(p/(1-p))(math=55)=-9.793942+.1563404*55
两者之差：
ln(p/(1-p))(math=55)-ln(p/1-p))(math=54)=0.1563404.
正好是变量math的系数。
由此我们可以说，math每提高1个单位，odds（即p/(1-p)，也即处于荣誉班的几率）的对数增加0.1563404。
那么odds增加多少呢？根据对数公式：
ln(p/(1-p))(math=55)-ln(p/1-p))(math=54)=ln((p/(1-p)(math=55)/(p/(1-p)(math=54)))=ln(odds(math=55)/odds(math=54))=0.1563404.
所以：
odds(math=55)/odds(math=54) = exp(0.1563404)=1.169.
因此我们可以说，math每升高一个单位，odds增加16.9%。且与math的所处的绝对值无关。
聪明的读者肯定发现，odds(math=55)/odds(math=54)不就是OR嘛！
4、包含多个变量的模型（无交互效应）
拟合一个包含female、math、read的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p)= β0 +β1* math+β2* female+β3* read.
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
math
.1229589
略
0.000
female
0.979948
略
0.020
read
.0590632
略
0.026
截距
-11.77025
略
0.000
该结果说明:
（1） 性别：在math和read成绩都相同的条件下，女性（female=1）进入荣誉班的几率（odds）是男性（female=0）的exp(0.979948)=2.66倍，或者说，女性的几率比男性高166%。
（2） math成绩：在female和read都相同的条件下，math成绩每提高1，进入荣誉班的几率提高13%（因为exp(0.1229589)=1.13）。
（3）read的解读类似math。
5、包含交互相应的模型
拟合一个包含female、math和两者交互相应的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* female+β2* math+β3* female*math.
所谓交互效应，是指一个变量对结果的影响因另一个变量取值的不同而不同。
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
female
-2.899863
略
0.349
math
.1293781
略
0.000
female*math
.0669951
略
0.210
截距
-8.745841
略
0.000
注意：female*math项的P为0.21，可以认为没有交互相应。但这里我们为了讲解交互效应，暂时忽略P值，姑且认为他们是存在交互效应的。
由于交互效应的存在，我们就不能说在保持math和female*math不变的情况下，female的影响如何如何，因为math和female*math是不可能保持不变的!
对于这种简单的情况，我们可以分别拟合两个方程，
对于男性（female=0）：
log(p/(1-p))= β0 + β2*math.
对于女性（female=1）：
log(p/(1-p))=(β0 + β1)+(β2 + β3 )*math.
然后分别解释。
分类变量（哑变量）的处理及解读
一、哑变量的设置方法
Logistic回归中分类变量需要使用哑变量（也叫虚拟变量）来操作。一般的，n个分类需要设置n-1个哑变量（为什么不是n个？请继续看）。举个例子，有一个“年龄”变量，分为：青年，中年，老年三类，那么我们可以用两个哑变量来代替： 年龄 变量1变量2 青年10 中年0 1 老年00变量1=1代表青年，0代表非青年变量2=1代表中年，0代表非中年变量1和变量2都等于0代表老年所以用2个变量就可以表示3个类别。 二、分类变量在SPSS中的操作及结果解读 SPSS中能自动设置哑变量，只需要把变量标记为分类变量即可。 假设我们要分析年龄和病程对某种疾病预后的影响，采用Logistic回归分析。变量赋值如下（数据均为人造，非真实数据）：预后：因变量，为二分类变量，0=预后差，1=预后好年龄：自变量，为多分类变量，1=青年，2=中年，3=老年病程：自变量，为连续变量 （1）首先将年龄设置为分类变量，对比方式默认为“指示符”，参考类别默认为“最后一个”（后面解释为什么）。见下图。 （2）结果输出，有两个主要的表格。这是分类变量的编码表格，可以看出，年龄被替换为两个新的变量：年龄（1）和年龄（2）。年龄（1）代表青年人，年龄（2）代表中年人，他们的取值都为0表示老年人，作为青年和中年的参考对象。
这是回归表格，出现了年龄（1）和年龄（2）两个新的变量。可以看出年龄（1）的P为0.000，有统计学意义，年龄（2）的P为0.135，没有统计学意义。 两者不一致，怎么解释？ 因为年龄（1）和（2）都是以老年人来作为参照的，所以可以解释为：（1）青年人相对于老年人，预后更好（2）中年人相对于老年人，预后没有统计学差异（3）青年人比中年人看起来预后好，但需要进一步假设检验。 三、参照方式的选择 分类变量都需要一个参考对象，也就是说跟谁比。SPSS中提供了多种对比方式，如指示符，简单，差值等等，如下图： 其中默认的“指示符”使用最多，这里仅介绍这一个。 “指示符”表示将每一个类别与参考类别对比。那么哪一个是参考类别呢？SPSS有两个选项：“最后一个”与“第一个”。这里的“最后一个”和“第一个”顺序与上文“分类变量编码表”中的顺序是一样的。如果设置为最后一个，就是以老年为参考类别，如果设置为第一个，就是以青年为参考类别。具体使用哪一个，需要根据分析目的来确定。来源于：http://blog.sina.com.cn/wjyhumor
逻辑回归原理
看了很多遍逻辑回归的原理，但是发现自己还是不能完整的讲清楚它的原理，所以在这里写一篇博客来理清楚自己的思路。水平有限，如有错误还请指正。
逻辑回归原理逻辑回归是利用回归类似的方法来解决分类问题。假设有一个二分类问题，输出y{0,1}，而线性模型（下文将展示这个模型）的的预测值z是实数值，我们希望找到一个阶跃函数将实数z映射为{0,1}，这样我们就能很好的处理分类问题了。那么逻辑回归中是使用什么函数来进行映射的呢？就是sigmoid函数（关于为什么用这个函数请点击这里查看）。
sigmoid函数的图像：
sigmoid函数中的z就是线性函数的z，因为g(z)最后输出的时样本类别的概率值，所以我们可以把阈值设为0.5，g(z)大于等于0.5的看作1，小于0.5的看作0，这样我们就能利用逻辑回归来处理二分类问题了。分类结果就是这样子的。
那我们现在的问题就是怎样计算得到线性函数的模型，也就是我们上文提到输出为z的线性模型。为了使模型能分类更准确，我们需要得出一个最优的线性模型函数。也就是下图所示的公式。如何让这个参数达到最优呢？我们就要对每个x找到最优的参数，这也是我们接下来要求解的问题。
此时我们可以先将线性模型和sigmoid函数结合起来构造逻辑回归的预测函数：
通常求解回归问题(也就是上面的线性问题)的常规步骤为三步：
1.寻找预测函数(x)
2.构造损失函数J()
3.想办法使得J()函数最小并求得回归参数θ
构造损失函数上面我们已经写出了辑回归的预测函数，所以下一步我们要构造损失函数J()。构造损失函数J()我们可能会先想到模仿线性回归中的平方误差作为损失函数，但是如果使用平方误作损失函数的话我们得到的损失函数就是一个非凸函数，这就意味着损失函数有许多局部最优解，就不能得到全局最优的。
非凸函数（左）凸函数（右）
那我们就要构造其他的损失函数了。我们再来看问题本身，我们要解决的时二分类问题，函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：
y（标签）要么取0要么取1，这样就可以把两个类别进行整合，得到一个更直观的表达。
此时P就是某个样本的概率值，我们只要最大化样本的概率就可以得到最好的分类模型了。接下来我们用极大似然函数来求解样本的概率值P
为了简化运算，我们让等式的两边都取对数，对数似然函数为：
这里就是用极大似然估计来求最优的θ。最大似然估计就是求使取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。因为在很多其它的讲解中都是用梯度下降来求解，是因为它们在前加了一个负号,使，此时就是用梯度下降来求J(θ)了。这里我们使用梯度下降来求解。如果你想用梯度上升求解也没问题。
梯度下降法求的最小值θ更新过程：
θ更新过程可以写成：
这时我们就能求出最优的参数，也就能得到最优的逻辑回归模型了，得到最优模型我们就可以更好的分类未知样本了。
关于逻辑回归的代码实现我就不在这里写了，网上已经有很多人写了，很容易就能找到。
参考：[1]逻辑回归(logisticregression)的本质——极大似然估计
[2]逻辑回归-理论篇
[3]十分钟掌握经典机器学习算法-逻辑回归