逻辑回归算法的原理及实现(LR)
Logistic回归虽然名字叫”回归” ，但却是一种分类学习方法。使用场景大概有两个：第一用来预测，第二寻找因变量的影响因素。逻辑回归(LogisticRegression,LR)又称为逻辑回归分析，是分类和预测算法中的一种。通过历史数据的表现对未来结果发生的概率进行预测。例如，我们可以将购买的概率设置为因变量，将用户的特征属性，例如性别，年龄，注册时间等设置为自变量。根据特征属性预测购买的概率。逻辑回归与回归分析有很多相似之处，在开始介绍逻辑回归之前我们先来看下回归分析。
回归分析用来描述自变量x和因变量Y之间的关系，或者说自变量X对因变量Y的影响程度，并对因变量Y进行预测。其中因变量是我们希望获得的结果，自变量是影响结果的潜在因素，自变量可以有一个，也可以有多个。一个自变量的叫做一元回归分析，超过一个自变量的叫做多元回归分析。
下面是一组广告费用和曝光次数的数据，费用和曝光次数一一对应。其中曝光次数是我们希望知道的结果，费用是影响曝光次数的因素，我们将费用设置为自变量X，将曝光次数设置为因变量Y，通过一元线性回归方程和判定系数可以发现费用(X)对曝光次数(Y)的影响。
以下为一元回归线性方式，其中y是因变量，X是自变量，我们只需求出截距b0和斜率b1就可以获得费用和曝光次数之间的关系，并对曝光次数进行预测。这里我们使用最小二乘法来计算截距b0和斜率b1。最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
下表中是使用最小二乘法计算回归方程的一些必要的计算过程。在表中最左侧的两列分别为自变量X和因变量Y，我们首先计算出自变量和因变量的均值，然后计算每一个观测值与均值的差，以及用于计算回归方程斜率b1所需的数据。
根据表中的数据按公式计算出了回归方程的斜率b1，计算过程如下。斜率表示了自变量和因变量间的关系，斜率为正表示自变量和因变量正相关，斜率为负表示自变量和因变量负相关，斜率为0表示自变量和因变量不相关。
求得斜率b1后，按下面的公式可以求出Y轴的截距b0。
将斜率b1和截距b0代入到回归方程中，通过这个方程我们可以获得自变量和因变量的关系，费用每增加1元，曝光次数会增长7437次。以下为回归方程和图示。
在回归方程的图示中，还有一个R^2，这个值叫做判定系数，用来衡量回归方程是否很好的拟合了样本的数据。判定系数在0-1之间，值越大说明拟合的越好，换句话说就是自变量对因变量的解释度越高。判定系数的计算公式为SST=SSR+SSE，其中SST是总平方和，SSR是回归平方和，SSE是误差平方和。下表为计算判定系数所需三个指标的一些必要的计算过程。
根据前面求得的回归平方和(SSR)和总平方和(SST)求得判定系数为0.94344。
以上为回归方程的计算过程，在根据费用预测曝光数量的场景下，我们可以通过回归方程在已知费用的情况下计算出曝光数量。逻辑回归与回归方程相比在线性回归的基础上增加了一个逻辑函数。例如通过用户的属性和特征来判断用户最终是否会进行购买。其中购买的概率是因变量Y，用户的属性和特征是自变量X。Y值越大说明用户购买的概率越大。这里我们使用事件发生的可能性（odds）来表示购买与未购买的比值。
使用E作为购买事件，P(E)是购买的概率，P(E’)是未购买的概率，Odds(E)是事件E(购买)发生的可能性。
Odds是一个从0到无穷的数字，Odds的值越大，表明事件发生的可能性越大。下面我们要将Odds转化为0-1之间的概率函数。首先对Odds取自然对数，得到logit方程，logit是一个范围在负无穷到正无穷的值。
基于上面的logit方程，获得以下公式：
其中使用π替换了公式中的P(E),π=P(E)。根据指数函数和对数规则获得以下公式：
并最终获得逻辑回归方程：
下面根据逻辑回归方程来计算用户购买的概率，下表是用户注册天数和是否购买的数据，其中注册天数是自变量X，是否购买是自变量Y。我们将购买标记为1，将未购买标记为0。
接下来我们将在Excel中通过8个步骤计算出逻辑回归方程的斜率和截距。并通过方程预测新用户是否会购买。
第一步，使用Excel的排序功能对原始数据按因变量Y进行排序，将已购买和未购买的数据分开，使得数据特征更加明显。第二步，按照Logit方程预设斜率b1和截距b0的值，这里我们将两个值都预设为0.1。后续再通过Excel求最优解。第三步，按照logit方程，使用之前预设的斜率和截距值计算出L值。第四步，将L值取自然对数，第五步，计算P(X)的值，P(X)为事件发生的可能性(Odds)。具体的计算步骤和过程见下图。第六步，计算每个值的对数似然函数估计值（Log-Likelihood）。方法和过程见下图。第七步，将对数似然函数值进行汇总。第八步，使用Excel的规划求解功能，计算最大对数似然函数值。方法和过程见下图。设置汇总的对数似然函数值LL为最大化的目标，预设的斜率b1和截距b0是可变单元格，取消”使无约束变量为非负数”的选项。进行求解。Excel将自动求出逻辑回归方程中斜率和截距的最优解，结果如下图所示。
求得逻辑回归方程的斜率和截距以后，我们可以将值代入方程，获得一个注册天数与购买概率的预测模型，通过这个模型我们可以对不同注册天数(X)用户的购买概率(Y)进行预测。以下为计算过程。
第一步，输入自变量注册天数(X)的值，这里我们输入50天。第二步，将输入的X值，以及斜率和截距套入Logit方程，求出L值。第三步，对L值取自然对数。第四步，求时间发生可能性P(X)的概率值。注册天数为50天的用户购买的概率约为17.60%。
我们将所有注册天数的值代入到购买概率预测模型中，获得了一条注册天数对购买概率影响的曲线。从曲线中可以发现，注册天数在较低和较高天数的用户购买概率较为平稳。中间天数用户的购买概率变化较大。
我们继续在上面的计算结果中增加新的自变量“年龄”。以下是原始数据的截图。现在有年龄和注册天数两个自变量和一个因变量。
依照前面的方法计算斜率和截距的最优解，并获得逻辑回归方程，将不同的年龄和注册天数代入到方程中，获得了用户年龄和注册天数对购买的预测模型。我们通过Excel的三维图表来绘制年龄和注册天数对购买概率的影响。
从图中可以看出，购买概率随着注册天数的增加而增长，并且在相同的注册天数下，年龄较小的用户购买概率相对较高。
转载于: http://bluewhale.cc/2016-05-18/logistic-regression.html#ixzz4RbUh8R3T
一从线性回归到Logistic回归
线性回归和Logistic回归都是广义线性模型的特例。
假设有一个因变量y和一组自变量x1,x2,x3,...,xn，其中y为连续变量，我们可以拟合一个线性方程：
y=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
并通过最小二乘法估计各个β系数的值。
如果y为二分类变量，只能取值0或1，那么线性回归方程就会遇到困难: 方程右侧是一个连续的值，取值为负无穷到正无穷，而左侧只能取值[0,1]，无法对应。为了继续使用线性回归的思想，统计学家想到了一个变换方法，就是将方程右边的取值变换为[0,1]。最后选中了Logistic函数：
y=1/(1+e-x)
这是一个S型函数，值域为(0,1)，能将任何数值映射到(0,1)，且具有无限阶可导等优良数学性质。
我们将线性回归方程改写为：
y=1/(1+e-z),
其中，z=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
此时方程两边的取值都在0和1之间。
进一步数学变换，可以写为：
Ln(y/(1-y))=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn
Ln(y/(1-y))称为Logit变换。我们再将y视为y取值为1的概率p(y=1)，因此，1-y就是y取值为0的概率p(y=0)，所以上式改写为：
p(y=1)=ez/(1+ez),
p(y=0)=1/(1+ez),
其中，z=β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn.
接下来就可以使用”最大似然法”估计出各个系数β。
二 odds与OR复习
odds: 称为几率、比值、比数，是指某事件发生的可能性(概率)与不发生的可能性（概率）之比。用p表示事件发生的概率，则：odds=p/(1-p)。
OR：比值比，为实验组的事件发生几率(odds1)/对照组的事件发生几率(odds2)。
三 Logistic回归结果的解读
我们用一个例子来说明，这个例子中包含200名学生数据，包括1个自变量和4个自变量：
因变量: hon，表示学生是否在荣誉班(honorsclass)，1表示是，0表示否；
自变量：
female ：性别，分类变量，1=女，0=男
read: 阅读成绩，为连续变量
write: 写作成绩，为连续变量
math：数学成绩，为连续变量
1、不包含任何变量的Logistic回归
首先拟合一个不包含任何变量的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p)=β0
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
截距
-1.12546
0.164
0.000
这里的系数β就是模型中的β0 =-1.12546，
我们用p表示学生在荣誉班的概率，所以有ln(p/(1-p)=β0 =-1.12546，
解方程得：p=0.245。
odds=p/1-p=0.3245
这里的p是什么意思呢？p就是所有数据中hon=1的概率。
我们来统计一下整个hon的数据:
hon
例数
百分比
0
151
75.5%
1
49
24.5%
hon取值为1的概率p为49/(151+49)=24.5%=0.245，我们可以手动计算出ln(p/(1-p)=-1.12546，等于系数β0。可以得出关系：
β0=ln(odds)。
2、包含一个二分类因变量的模型
拟合一个包含二分类因变量female的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* female.
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
female
0.593
.3414294
0.083
截距
-1.47
.2689555
0.000
在解读这个结果之前，先看一下hon和female的交叉表：
hon
female
Total
Male
Female
0
74
77
151
1
17
32
49
Total
91
109
根据这个交叉表，对于男性（Male），其处在荣誉班级的概率为17/91，处在非荣誉班级的概率为74/91，所以其处在荣誉班级的几率odds1=(17/91)/(74/91)=17/74=0.23；相应的，女性处于荣誉班级的几率odds2=(32/109)/(77/109)=32/77=0.42。女性对男性的几率之比OR=odds2/odds1=0.42/0.23=1.809。我们可以说，女性比男性在荣誉班的几率高80.9%。
回到Logistic回归结果。截距的系数-1.47是男性odds的对数（因为男性用female=0表示，是对照组），ln(0.23)=-1.47。变量female的系数为0.593，是女性对男性的OR值的对数，ln(1.809)=0.593。所以我们可以得出关系:OR=exp(β)，或者β=ln(OR)（exp(x)函数为指数函数，代表e的x次方）。
3、包含一个连续变量的模型
拟合一个包含连续变量math的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* math.
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
math
.1563404
.0256095
0.000
截距
-9.793942
1.481745
0.000
这里截距系数的含义是在荣誉班中math成绩为0的odds的对数。我们计算出odds=exp(-9.793942)=.00005579，是非常小的。因为在我们的数据中，没有math成绩为0的学生，所以这是一个外推出来的假想值。
怎么解释math的系数呢？根据拟合的模型，有：
ln(p/(1-p))= -9.793942 +.1563404*math
我们先假设math=54，有：
ln(p/(1-p))(math=54)=-9.793942+.1563404*54
然后我们把math提高提高一个单位，令math=55，有：
ln(p/(1-p))(math=55)=-9.793942+.1563404*55
两者之差：
ln(p/(1-p))(math=55)-ln(p/1-p))(math=54)=0.1563404.
正好是变量math的系数。
由此我们可以说，math每提高1个单位，odds（即p/(1-p)，也即处于荣誉班的几率）的对数增加0.1563404。
那么odds增加多少呢？根据对数公式：
ln(p/(1-p))(math=55)-ln(p/1-p))(math=54)=ln((p/(1-p)(math=55)/(p/(1-p)(math=54)))=ln(odds(math=55)/odds(math=54))=0.1563404.
所以：
odds(math=55)/odds(math=54) = exp(0.1563404)=1.169.
因此我们可以说，math每升高一个单位，odds增加16.9%。且与math的所处的绝对值无关。
聪明的读者肯定发现，odds(math=55)/odds(math=54)不就是OR嘛！
4、包含多个变量的模型（无交互效应）
拟合一个包含female、math、read的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p)= β0 +β1* math+β2* female+β3* read.
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
math
.1229589
略
0.000
female
0.979948
略
0.020
read
.0590632
略
0.026
截距
-11.77025
略
0.000
该结果说明:
（1） 性别：在math和read成绩都相同的条件下，女性（female=1）进入荣誉班的几率（odds）是男性（female=0）的exp(0.979948)=2.66倍，或者说，女性的几率比男性高166%。
（2） math成绩：在female和read都相同的条件下，math成绩每提高1，进入荣誉班的几率提高13%（因为exp(0.1229589)=1.13）。
（3）read的解读类似math。
5、包含交互相应的模型
拟合一个包含female、math和两者交互相应的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0 +β1* female+β2* math+β3* female*math.
所谓交互效应，是指一个变量对结果的影响因另一个变量取值的不同而不同。
回归结果如下（结果经过编辑）：
hon
系数β
标准误
P
female
-2.899863
略
0.349
math
.1293781
略
0.000
female*math
.0669951
略
0.210
截距
-8.745841
略
0.000
注意：female*math项的P为0.21，可以认为没有交互相应。但这里我们为了讲解交互效应，暂时忽略P值，姑且认为他们是存在交互效应的。
由于交互效应的存在，我们就不能说在保持math和female*math不变的情况下，female的影响如何如何，因为math和female*math是不可能保持不变的!
对于这种简单的情况，我们可以分别拟合两个方程，
对于男性（female=0）：
log(p/(1-p))= β0 + β2*math.
对于女性（female=1）：
log(p/(1-p))=(β0 + β1)+(β2 + β3 )*math.
然后分别解释。
分类变量（哑变量）的处理及解读
一、哑变量的设置方法
Logistic回归中分类变量需要使用哑变量（也叫虚拟变量）来操作。一般的，n个分类需要设置n-1个哑变量（为什么不是n个？请继续看）。举个例子，有一个“年龄”变量，分为：青年，中年，老年三类，那么我们可以用两个哑变量来代替： 年龄 变量1变量2 青年10 中年0 1 老年00变量1=1代表青年，0代表非青年变量2=1代表中年，0代表非中年变量1和变量2都等于0代表老年所以用2个变量就可以表示3个类别。 二、分类变量在SPSS中的操作及结果解读 SPSS中能自动设置哑变量，只需要把变量标记为分类变量即可。 假设我们要分析年龄和病程对某种疾病预后的影响，采用Logistic回归分析。变量赋值如下（数据均为人造，非真实数据）：预后：因变量，为二分类变量，0=预后差，1=预后好年龄：自变量，为多分类变量，1=青年，2=中年，3=老年病程：自变量，为连续变量 （1）首先将年龄设置为分类变量，对比方式默认为“指示符”，参考类别默认为“最后一个”（后面解释为什么）。见下图。 （2）结果输出，有两个主要的表格。这是分类变量的编码表格，可以看出，年龄被替换为两个新的变量：年龄（1）和年龄（2）。年龄（1）代表青年人，年龄（2）代表中年人，他们的取值都为0表示老年人，作为青年和中年的参考对象。
这是回归表格，出现了年龄（1）和年龄（2）两个新的变量。可以看出年龄（1）的P为0.000，有统计学意义，年龄（2）的P为0.135，没有统计学意义。 两者不一致，怎么解释？ 因为年龄（1）和（2）都是以老年人来作为参照的，所以可以解释为：（1）青年人相对于老年人，预后更好（2）中年人相对于老年人，预后没有统计学差异（3）青年人比中年人看起来预后好，但需要进一步假设检验。 三、参照方式的选择 分类变量都需要一个参考对象，也就是说跟谁比。SPSS中提供了多种对比方式，如指示符，简单，差值等等，如下图： 其中默认的“指示符”使用最多，这里仅介绍这一个。 “指示符”表示将每一个类别与参考类别对比。那么哪一个是参考类别呢？SPSS有两个选项：“最后一个”与“第一个”。这里的“最后一个”和“第一个”顺序与上文“分类变量编码表”中的顺序是一样的。如果设置为最后一个，就是以老年为参考类别，如果设置为第一个，就是以青年为参考类别。具体使用哪一个，需要根据分析目的来确定。来源于：http://blog.sina.com.cn/wjyhumor
人工智能领域的10大算法
本篇文章是博主在人工智能等领域学习时，用于个人学习、研究或者欣赏使用，并基于博主对人工智能等领域的一些理解而记录的学习摘录和笔记，若有不当和侵权之处，指出后将会立即改正，还望谅解。文章分类在学习摘录和笔记专栏：
学习摘录和笔记（12）---《人工智能领域的10大算法》
人工智能领域的10大算法原文/论文出处：
题目：《人工智能领域的10大算法》
作者：AI智胜未来
时间：2022-09-26
来源：AI智胜未来
1 线性回归线性回归（LinearRegression）可能是最流行的机器学习算法。线性回归就是要找一条直线，并且让这条直线尽可能地拟合散点图中的数据点。
2逻辑回归逻辑回归（Logisticregression）与线性回归类似，但逻辑回归的结果只能有两个的值。如果说线性回归是在预测一个开放的数值，那逻辑回归更像是做一道是或不是的判断题。逻辑函数中Y值的范围从0到1，是一个概率值。逻辑函数通常呈S型，曲线把图表分成两块区域，因此适合用于分类任务。
3决策树如果说线性和逻辑回归都是把任务在一个回合内结束，那么决策树（DecisionTrees）就是一个多步走的动作，它同样用于回归和分类任务中，不过场景通常更复杂且具体。
4朴素贝叶斯朴素贝叶斯（NaiveBayes）是基于贝叶斯定理，即两个条件关系之间。它测量每个类的概率，每个类的条件概率给出x的值。这个算法用于分类问题，得到一个二进制“是/非”的结果。
5 支持向量机支持向量机（SupportVectorMachine，SVM）是一种用于分类问题的监督算法。支持向量机试图在数据点之间绘制两条线，它们之间的边距最大。为此，我们将数据项绘制为n维空间中的点，其中，n是输入特征的数量。在此基础上，支持向量机找到一个最优边界，称为超平面（Hyperplane），它通过类标签将可能的输出进行最佳分离。
6 K-最近邻算法K-最近邻算法（K-NearestNeighbors，KNN）非常简单。KNN通过在整个训练集中搜索K个最相似的实例，即K个邻居，并为所有这些K个实例分配一个公共输出变量，来对对象进行分类。
K的选择很关键：较小的值可能会得到大量的噪声和不准确的结果，而较大的值是不可行的。它最常用于分类，但也适用于回归问题。
7 K-均值K-均值（K-means）是通过对数据集进行分类来聚类的。例如，这个算法可用于根据购买历史将用户分组。它在数据集中找到K个聚类。K-均值用于无监督学习，因此，我们只需使用训练数据X，以及我们想要识别的聚类数量K。
8随机森林随机森林（RandomForest）是一种非常流行的集成机器学习算法。这个算法的基本思想是，许多人的意见要比个人的意见更准确。在随机森林中，使用决策树集成（参见决策树）。
（a）在训练过程中，每个决策树都是基于训练集的引导样本来构建的。
（b）在分类过程中，输入实例的决定是根据多数投票做出的。
随机森林拥有广泛的应用前景，从市场营销到医疗保健保险，既可以用来做市场营销模拟的建模，统计客户来源、保留及流失，也可以用来预测疾病的风险和病患者的易感性。
9 降维降维（Dimensionalityreduction）试图在不丢失最重要信息的情况下，通过将特定的特征组合成更高层次的特征来解决这个问题。主成分分析（PrincipalComponentAnalysis，PCA）是最流行的降维技术。
10人工神经网络人工神经网络（ArtificialNeuralNetworks，ANN）可以处理大型复杂的机器学习任务。神经网络本质上是一组带有权值的边和节点组成的相互连接的层，称为神经元。
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