为什么凸优化这么重要
与此相对应的，即使是一个P问题，但是如果实际当中你的问题规模超级大呢？实际上反而这个问题会让你更头疼的。
举个例子，比如现在优酷、天猫、京东、亚马逊这些个平台，每天你登陆网站，它在推荐栏都需要根据你的历史活动记录决定推荐哪些产品给你。这个在线推荐算法，本质上只是需要求解一个线性规划问题（LP,linearprogramming,比一般的凸优化还简单），甚至还不是一个一般的线性规划，有个专门的名字叫做packingLP，这类packingLP理论上可以有跟问题规模呈线性的复杂度的算法（忽略log项，跟排个序差不多...）。听起来是不是很简单？然而，实际这些问题的规模无比巨大，每天这些平台上线人次数以亿记，这些平台可以推荐的商品也是至少百万千万规模的。。而且实际问题还有各种各样的现实约束，比如我们希望我们的算法可以完全在线更新（online，甚至是streamingalgorithm），我们的算法需要灵活运用存储数据的数据结构，需要利用计算集群的并行能力，分布式能力，这也是需要非常非常专门的（一阶）优化算法设计的。。这边就不再多说了，因为我个人确实在之前公司实习的时候，发现中国最好的IT公司面对这类海量规模的“简单”LP，实际上远没有能力去完美地求解。
因此你说现有的方法能解决所有的凸优化问题，但从实际的角度其实还差的远。事实上，目前的大公司面对如此规模的优化问题，也就LP还可以勉强接受，像是什么second-orderconeprorgamming(SOCP),semidefiniteprogramming(SDP)根本目前实际中都不可能大规模求解。而这两类问题在理论上还仍然都是“线性”的，因为可以写成linearconicprogramming，所以就更不要说一般的带约束的凸优化问题了。
实际上，在这个方面，无论是求解器（solver）还是更好的理论算法的开发都还有大量的研究空间。比如，SDP实际当中的大规模算法设计目前来看还基本一片空白，有很多很基本的问题都还没有在理论上得到满意的解答（像SDP其实和另一类凸优化问题只有一丝之隔，copositiveprogramming，而这类凸优化问题的计算复杂度却是NPcomplete的，所以即使是凸优化也未必复杂度就容易！实际上，所有mixed0/1nonconvexquadraticprogram都可以写成copositiveprogram这个凸优化的形式。两者的算法设计也因此都很蛋疼）。。还有这么多没有解决的问题，又如何能说凸优化的问题都已经被“解决”了呢？
至于具体如何把mixed0/1nonconvexquadraticprogram写成凸优化形式，这是个很cute的结果，有兴趣的同学可见我这篇专栏文章的第二部分。