哈尔滨工业大学 2023年春人工智能数学基础期末真题
注：本套试卷为人工智能专业期末考试试卷，该门课对于人工智能专业同学为考试课，对其他专业同学为专业限选课程（考查课），所以该题仅作为人工智能专业同学复习参考。
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一.填空题（每空1分，共22分）
1.通过对矩阵进行高斯消元来对矩阵进行A=LU分解，假设原矩阵为，则L=____________，U=____________。
2.假设函数，分别计算其二阶Hessian矩阵____________，____________。
3.m×n的矩阵，假设其行空间维数为r，零空间维数为s，则r+s=____________。
4.矩阵特征值中，当几何重数GM____代数重数AM时，矩阵不能对角化。
5.逆时针旋转角度θ的2×2单位旋转矩阵为：____________。
6.δ(t)与____________构成一对傅里叶变换对。
7.对于强噪信道的输入输出分别为X，Y，则I(X;Y)=____________，对于一般的信道，则I(X;Y)=____________。（用X,Y的熵和联合熵的表达式表示）
8.回归问题的解析解W=____________，其梯度下降法的迭代公式为：____________。
9.对和分别进行傅里叶变换可得和，则对*进行傅里叶逆变换可得：____________。
10.设均为凸函数，请问凸函数的交集________（是/不是）凸函数。
11.最优化问题，取，则该点处的梯度方向为____________，最快下降方向为____________。
12.线性规划问题，设基本解为，则其基本形式为____________（或者用文字描述要满足的条件也可以）。
13.最优化方法中，最小化可微目标函数f(x)，在点处的梯度表示为，该点处的方向向量表示为，则方向称为点处的下降方向，如果梯度向量与方向向量满足如下关系：____________。
14.优化问题的严格局部极小值为____________。
15.函数在x=0点的次微分为____________。
16.则点y到集合的投影为____________。
二.判断题（每个括号1分，共14分）
17.矩阵的行空间与零空间正交，矩阵的列空间与其转置矩阵的零空间正交（ ）
18.矩阵A的特征值是2,2,5，则矩阵必定可逆（ ）
19.矩阵A的唯一特征向量是的倍数，则必定不可逆（ ）；有重复的特征值（ ）；不能对角化为（ ）
20.离散信源熵的最大值是当信源符号相互独立，概率分布均匀的时候获得（ ）
21.如果某个系统算子为g(n)=af(n)+b，则该系统是线性系统（ ）
22.图像的2维傅里叶变换后，可得幅度谱和相位谱，其中相位谱更重要（ ）
23.求解方程中，系数矩阵的条件数越大越好（ ）
24.Sherman-Morrison公式的主要作用是将n×n矩阵求逆问题转化为一个低阶k×k矩阵的求逆问题，从而降低求逆的复杂度（ ）
25.相对熵非负（ ）
26.线性规划问题的最优解必定是其基本可行解（ ）
27.可以采用混合同余法生成均匀分布的随机数（ ）
28.常用的随机变量模拟方法有逆变换法、拒绝抽样法等方法（ ）
二.简答题（每题4分，共28分）
（试卷上题号打错了，此处及以后特意保留）
29.简述奈奎斯特(Nyquist)采样定理的基本内容并解释混叠产生的原因。
30.高斯消元法和LU分解的复杂性一样，为何还需要做LU分解，请举例说明。
31.请结合课程内容解释逼近思想。
32.请介绍PCA基本原理。
33.请形式化描述K-means算法用于矢量量化的稀疏表示问题。
34.请描述贝叶斯准则、最大后验概率准则、最大似然准则的基本假设及其表达方式。
35.请介绍有约束优化问题及其对偶问题的形式化表达方式，并介绍弱对偶与强对偶定理的基本内容。
三.计算和证明题（第36题8分，第37题10分，第38题8分，共26分）
36.请判断函数的凹凸性，并给出证明。
37.给定线性规划问题，请：
a).将其转化为标准形式。
b).给出基本可行解，并计算其最优值。
38.给出函数的共轭函数的定义，并计算的共轭函数。
四.论述题（每题5分，共10分）
39.通过对实际问题进行形式化建模，表达为优化问题，然后获取数据并进行标注，进一步根据数据采用有监督机器学习算法来拟合数据的分布，请根据本课程内容，谈谈你对人工智能应用的基本理解（如基本流程、存在的问题与挑战、以后的发展趋势等都可以）。
40.请谈谈对课程内容的建议。
人工智能时代，你的数学基础够用吗
新的时代，程序员想要跨入AI之门，只要稍微花点时间研究一下AI的门道，就能知道，数学基础是第一个、也是最大的门槛。如果你看到有人说不懂数学也能搞AI，一定要警惕，因为这可能是一种误导。下图是一个比较公认的人工智能学习路径线路图。
可见数学知识才是学习的的起点。试想我们在大学里学的高等数上下册、线性代数、概率与数理统计，每一门课程都要学习1个学期，所以短时间是无法快速提高的。数学是有严谨的逻辑和推理关系，比如极限是微积分的基础，微积分是概率的基础，概率又是机器学习算法的基础。直接学习最后的算法当然容易蒙圈，上来就看周志华老师的《机器学习》西瓜书能学懂的都是顶级高手，正确的路径是从基础学起结合高级算法彼此促进理解。
为了帮助人工智能学习者扎实掌握数学基础知识，找回学习人工智能的信心和决心，尽快转换AI行业，在数学领域深耕 8年的数学家（原校苑数模），联合兼备扎实数学功底和人工智能专业的高校名师，共同推出「人工智能之数学基础直播系列课」。系列课包含：高等数学、概率论、线性代数三门课程，共 110 学时。手写板书，推演公式，直播＋录播的形式。并配有讲师助教长期私密答疑群，切切实实地带领大家学会学懂，夯实数学基础。
讲师简介
徐老师
211高校名师，德国明斯特大学计算机应用技术博士。拥有 9年的算法研究经验，熟悉机器学习、深度学习、数据分析等算法和模型。近3年，在机器学习、模式识别领域发表被SCI或EI检索的论文10余篇。主讲高等数学，线性代数，概率论与数理统计，C语言，Java语言，Matlab语言等课程，主持省级和国家级课题项目5项，获省教学成果二等奖（第一完成人）。
课程特点
理论性—公式推演，手写板书，真正地理解数学公式背后的逻辑实操性—讲解数学公式在人工智能中的应用意义权威性—多年高校授课经验，深入浅出为你讲解数学理论逻辑性—高等数学讲起，逐步深入线性代数、概率、优化理论
课程内容
导学课程
12月2日2学时
《高等数学》共39学时
12月9日-1月20日
每周六日晚7:00-10:00
《线性代数》共30学时
1月27日-3月4日（2月17日18日除外） 每周六日晚7:00-10:00
《概率论》共39学时
3月10日-4月21日
每周六日晚7:00-10:00
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第一章
1、第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜世界围棋冠军的人工智能机器人是由谷歌公司开发的（）。
A.AlphaGo
B.AlphaGood
C.AlphaFun
D.Alpha
答案:AlphaGo
2、无需棋谱即可自学围棋的人工智能是（）
A.AlphaGoFan
B.AlphaGoLee
C.AlphaGoMaster
D.AlphaGoZero
答案:AlphaGoZero
3、世界上第一次正式的AI会议于（）年召开，JohnMcCarthy正式提出“ArtificialIntelligence”这一术语
A.1954
B.1955
C.1956
D.1957
答案:1956
4、以下哪些不是人工智能概念的正确表述（）
A.人工智能是为了开发一类计算机使之能够完成通常由人类所能做的事
B.人工智能是研究和构建在给定环境下表现良好的智能体程序
C.人工智能是通过机器或软件展现的智能
D.人工智能将其定义为人类智能体的研究
答案:人工智能将其定义为人类智能体的研究
5、下面不属于人工智能研究基本内容的是（）。
A.机器感知
B.机器学习
C.自动化
D.机器思维
答案:自动化
6、人工智能是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的（）的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。
A.智能
B.行为
C.语言
D.计算能力
答案:智能
7、图灵测试的含义是（）
A.图灵测试是测试人在与被测试者(一个人和一台机器)隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问。问过一些问题后，如果被测试者超过30%的答复不能使测试人确认出哪个是人、哪个是机器的回答，那么这台机器就通过了测试，并被认为具有人类智能。
B.所谓的图灵测试就是指一个抽象的机器，它有一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的小方格，每个方格有不同的颜色。有一个机器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部状态，还有一些固定的程序。
C.图灵测试是一种用来混淆的技术，它希望将正常的（可识别的）信息转变为无法识别的信息。
D.不存在图灵测试概念
答案:图灵测试是测试人在与被测试者(一个人和一台机器)隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问。问过一些问题后，如果被测试者超过30%的答复不能使测试人确认出哪个是人、哪个是机器的回答，那么这台机器就通过了测试，并被认为具有人类智能。
8、下列不属于人工智能学派的是（）。
A.符号主义
B.连接主义
C.行为主义
D.机会主义
答案:机会主义
9、认为智能不需要知识、不需要表示、不需要推理；人工智能可以像人类智能一样逐步进化；智能行为只能在现实世界中与周围环境交互作用而表现出来。这是（）学派的基本思想。
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