【人工智能算法】算法基础之离散优化[旅行商问题 背包问题]
本文重点：
离散VS连续旅行商问题背包问题旅行商问题旅行商问题（TravelingSalesmanProblem,TSP）是一个难以用传统迭代算法求解的NP困难问题，因此经常用模拟退火算法来解决，同时旅行商问题也是最著名的计算机科学问题之一。
旅行商问题简要说明旅行商问题描述的是有一个旅行商，在指定的多个城市中，从任意城市开始，要分别经过其他城市并最终回到起点城市，求解其最短路径的方案，其中除起点城市外的其他城市能且只能经过一次。旅行商问题还有好些个变体，其中有些变体允许多次经过同一城市，或者是给城市之间的双向路径赋予不同的“成本”。乍一看寻找最短路径对常规的迭代算法而言好像是个轻而易举的事情，但随着给定城市数量的增多，可能的路径组合数量也急剧增加。假如城市只有一两个，那可能的路径也就只有一条；但3个城市的话，可能的路径就有6条。这是阶乘式的，要使用暴力搜索的话，在城市数量增大的时候将无法完成，但是使用模拟退火算法可以在几分钟内找到50个城市下对应的最短路径。
旅行商问题求解的实现行连续型模拟退火算法的时候，是在当前解的某个或某几个维度上加上一个随机值，而在离散型模拟退火算法上就有点儿不同了。在旅行商问题中，每个解都是一条遍历各城市的路径，当前解也是这么一条路径，而移动到新位置则意味着选取与当前相近的一条路径。要应用模拟退火算法，首先要生成一个初始随机解。就旅行商问题而言，指的则是各城市的一个去重的有序随机列表，然后还必须通过添加微小的随机扰动来产生新解。在旅行商问题中，其实就是调换经过某两个城市的顺序，具体的实现方式是随机选取两个不同的索引并交换对应城市在列表中的顺序。不管是模拟退火算法的哪一种实现形式，都必须具有以下3个要素：
对各个解进行评估的评估函数；生成初始随机解的功能，且尽量向最优解靠拢；将当前解变换为新的随机解的功能。在旅行商问题中，评估得分就是旅行商经过的距离，距离越小则认为表现越好；初始解是一个去重的随机城市列表；当前解变换为新解的操作则是由调换两个城市的顺序实现的。
环形旅行商问题如何才能衡量一个NP困难问题的算法性能呢？在NP困难问题中，我们多数时候并不知道确切的最优解，这也就使得判断算法的结果与最优解的接近程度变得非常困难。不过，倒是有一种方法可以评估模拟退火算法在旅行商问题上的表现。将所有城市排成一个圈，最优解就应当在这个圆圈或者是椭圆的圆周上。模拟退火算法结果已经比较接近最优解了，但还不是最优解；不过没关系，多数情况下全局最优解都很难找得到。并且之所以立马能够知道当前路径不是最优解，还是因为我们对几何中的各种问题都研究得很透彻。如果你有某方面的知识储备可以帮助你解决问题，那么就尽管放手去干，用你的方法去解决问题。只有当你对某个问题一筹莫展的时候，人工智能才算得上是最佳解决方案。
背包问题背包问题简要说明背包问题讲的是一个在商店中陷入选择困难症的入室窃贼，他四周有很多货物，但却只有一个背包，要怎么样才能够使他的收获最大化呢？前提条件是选取的货物组合必须要背包能够放得下。背包问题是一个离散型问题。背包问题最常见的一种形式是所选的东西数目固定，且每样东西一般最多只能选一次，被称为“0-1背包问题”。其他还有些变体的背包问题则允许每样东西重复选择。背包问题中给出的物品一般具有两个属性：重量和价值；并且也会指定背包能够承受的最大重量。此外你可能还会好奇背包的容积，但一般来说背包问题都不会考虑容积。
背包问题求解的实现我们采用向量的方式表述结果，如下所示：Coffeethermos(weight=5,profit=1):falseBaseballcap(weight=1,profit=1):true
确定了解的表达方式之后，还要让模拟退火算法具有这些条件：
对每个解（即物品组合）进行评分的评估函数；生成初始随机解的功能；将当前解变换为新的随机解的功能。模拟退火算法求解的始终是最小化问题，这一点在构造评估函数的过程中务必要注意。任务目标是要使得所选取物品的价值最大，理论上价值的最大值就是所有物品价值的总和，但除非背包能够放下所有物品，否则理论上的最大价值就怎么也不可能达到。于是理论上的最大总价值和当前总价值的差就是最好的评分标准，并且因为几乎不可能出现背包能够放得下所有物品的情况，所以最佳得分也不可能为0——毕竟要是背包能够放得下所有东西，那这个问题就没有思考的意义了。反之，我们倒还可以尝试对方案进行优化调整。还有一个要考虑的关键是：如果某个解的总重超过了背包限重应该怎么办。理想状态下，随机算法生成解的时候不会出现这种情况，但这也并不妨碍在评估函数中进行限重检测。如果所选物品超出背包限重，就应该给分数赋一个相当大的值，这样就可以标识出这是一个无效的选取方案，从而使算法丢弃这一结果。要满足模拟退火算法的第二个条件，就要用某种方法初始化一个随机解。要初始化这第一个解，就要向一个空背包中放入物品，一次放入一个；只要放到背包超出限重了，就取出最后放入的物品，此时背包初始化完成。要满足模拟退火算法的第三个条件，即要将当前解变换为新的随机解。要达到这一目的，就向背包中放入一个此前没有放过的东西，这样一来如果超出限重，则随机取出包内一个物品，若仍超重，继续取出一个物品，直到包内总重低于限重。此时的选取方案即为新解。人工智能的常用十种算法
1.决策树根据一些feature进行分类，每个节点提一个问题，通过判断，将数据分为两类，再继续提问。这些问题是根据已有数据学习出来的，再投入新数据的时候，就可以根据这棵树上的问题，将数据划分到合适的叶子上。
2.随机森林视频
在源数据中随机选取数据，组成几个子集
S矩阵是源数据，有1-N条数据，ABC是feature，最后一列C是类别
由S随机生成M个子矩阵
这M个子集得到M个决策树
将新数据投入到这M个树中，得到M个分类结果，计数看预测成哪一类的数目最多，就将此类别作为最后的预测结果
3.逻辑回归视频
当预测目标是概率这样的，值域需要满足大于等于0，小于等于1的，这个时候单纯的线性模型是做不到的，因为在定义域不在某个范围之内时，值域也超出了规定区间。
所以此时需要这样的形状的模型会比较好
那么怎么得到这样的模型呢？
这个模型需要满足两个条件大于等于0，小于等于1大于等于0的模型可以选择绝对值，平方值，这里用指数函数，一定大于0小于等于1用除法，分子是自己，分母是自身加上1，那一定是小于1的了
再做一下变形，就得到了logisticregression模型
通过源数据计算可以得到相应的系数了
最后得到logistic的图形
4.SVM视频
supportvectormachine
要将两类分开，想要得到一个超平面，最优的超平面是到两类的margin达到最大，margin就是超平面与离它最近一点的距离，如下图，Z2>Z1，所以绿色的超平面比较好
将这个超平面表示成一个线性方程，在线上方的一类，都大于等于1，另一类小于等于－1
点到面的距离根据图中的公式计算
所以得到totalmargin的表达式如下，目标是最大化这个margin，就需要最小化分母，于是变成了一个优化问题
举个栗子，三个点，找到最优的超平面，定义了weightvector＝（2，3）－（1，1）
得到weightvector为（a，2a），将两个点代入方程，代入（2，3）另其值＝1，代入（1，1）另其值＝-1，求解出a和截矩w0的值，进而得到超平面的表达式。
a求出来后，代入（a，2a）得到的就是supportvector
a和w0代入超平面的方程就是supportvectormachine
5.朴素贝叶斯视频
举个在NLP的应用
给一段文字，返回情感分类，这段文字的态度是positive，还是negative
为了解决这个问题，可以只看其中的一些单词
这段文字，将仅由一些单词和它们的计数代表
原始问题是：给你一句话，它属于哪一类
通过bayesrules变成一个比较简单容易求得的问题
问题变成，这一类中这句话出现的概率是多少，当然，别忘了公式里的另外两个概率
栗子：单词love在positive的情况下出现的概率是0.1，在negative的情况下出现的概率是0.001
6.K最近邻视频
knearestneighbours
给一个新的数据时，离它最近的k个点中，哪个类别多，这个数据就属于哪一类
栗子：要区分猫和狗，通过claws和sound两个feature来判断的话，圆形和三角形是已知分类的了，那么这个star代表的是哪一类呢
k＝3时，这三条线链接的点就是最近的三个点，那么圆形多一些，所以这个star就是属于猫
7.K均值视频
想要将一组数据，分为三类，粉色数值大，黄色数值小最开心先初始化，这里面选了最简单的3，2，1作为各类的初始值剩下的数据里，每个都与三个初始值计算距离，然后归类到离它最近的初始值所在类别
分好类后，计算每一类的平均值，作为新一轮的中心点
几轮之后，分组不再变化了，就可以停止了
8.Adaboost视频
adaboost是bosting的方法之一
bosting就是把若干个分类效果并不好的分类器综合起来考虑，会得到一个效果比较好的分类器。
下图，左右两个决策树，单个看是效果不怎么好的，但是把同样的数据投入进去，把两个结果加起来考虑，就会增加可信度
adaboost的栗子，手写识别中，在画板上可以抓取到很多features，例如始点的方向，始点和终点的距离等等
training的时候，会得到每个feature的weight，例如2和3的开头部分很像，这个feature对分类起到的作用很小，它的权重也就会较小
而这个alpha角就具有很强的识别性，这个feature的权重就会较大，最后的预测结果是综合考虑这些feature的结果
9.神经网络视频
NeuralNetworks适合一个input可能落入至少两个类别里
NN由若干层神经元，和它们之间的联系组成第一层是input层，最后一层是output层
在hidden层和output层都有自己的classifier
input输入到网络中，被激活，计算的分数被传递到下一层，激活后面的神经层，最后output层的节点上的分数代表属于各类的分数，下图例子得到分类结果为class1
同样的input被传输到不同的节点上，之所以会得到不同的结果是因为各自节点有不同的weights和bias
这也就是forwardpropagation
10.马尔可夫视频
MarkovChains由state和transitions组成
栗子，根据这一句话‘thequickbrownfoxjumpsoverthelazydog’，要得到markovchain
步骤，先给每一个单词设定成一个状态，然后计算状态间转换的概率
这是一句话计算出来的概率，当你用大量文本去做统计的时候，会得到更大的状态转移矩阵，例如the后面可以连接的单词，及相应的概率
生活中，键盘输入法的备选结果也是一样的原理，模型会更高级
原文出自：https://www.imooc.com/article/32691