移动机器人——运动模型 机器人手工模型设计理念是什么呢

移动机器人——运动模型

一、简述

一般来说移动机器人的运动模型可分为完整约束和非完整约束。

完整约束（Holonomic，控制数=自由度）：可以用一个由位形变量x,y,θx,y, hetax,y,θ组成的方程来描述。包括全向轮模型。非完整约束（Non-holonomic，控制数B}相对于世界坐标系{O}{O}{O}）为：θ˙=vR−vLWdot{ heta}=frac{v_R-v_L}{W}θ˙=WvR​−vL​​小车的线速度为：v=vR+vL2v=frac{v_R+v_L}{2}v=2vR​+vL​​小车的运动方程为：x˙=vcos⁡θy˙=vsin⁡θθ˙=vR−vLWdot{x}=vcos{ heta}\dot{y}=vsin{ heta}\dot{ heta}=frac{v_R-v_L}{W}x˙=vcosθy˙​=vsinθθ˙=WvR​−vL​​规范简化模型为：q˙=[θ˙x˙y˙]=[−rwrwr2cos⁡θr2cos⁡θr2sin⁡θr2sin⁡θ][uLuR]dot{q}=egin{bmatrix}dot{ heta}\dot{x}\dot{y}end{bmatrix}=egin{bmatrix}-frac{r}{w}&frac{r}{w}\frac{r}{2}cos heta&frac{r}{2}cos heta\frac{r}{2}sin heta&frac{r}{2}sin heta\end{bmatrix}egin{bmatrix}u_L\u_Rend{bmatrix}q˙​=⎣⎡​θ˙x˙y˙​​⎦⎤​=⎣⎡​−wr​2r​cosθ2r​sinθ​wr​2r​cosθ2r​sinθ​⎦⎤​[uL​uR​​]差速模型可以原地旋转，但不代表其为完整约束，本质上小车只有X轴移动和旋转两个控制自由量。

设w=θ˙,d=W2w=dot{ heta},d=frac{W}{2}w=θ˙,d=2W​，小车的控制变换为：uL=v−wdr, uR=v+wdru_L=frac{v-wd}{r},u_R=frac{v+wd}{r}uL​=rv−wd​, uR​=rv+wd​wdwdwd为旋转时在离旋转中心ddd距离处产生的切向线速度，v−wdv-wdv−wd和v+wdv+wdv+wd为切向加上角速度产生的线速度的影响后的实际速度，其正负与固定在小车上的坐标系有关。

3.3旋转运动分析

运动状态

当vl>vr∣∣vlv_r||v_lvr​∣∣vl​B}为小车的坐标系，其原点为小车的后轮中心，X轴为小车前进方向，Y轴垂直于两轮中心线，在该坐标系下的小车速度为：Vx˙=v,Vy˙=0^{V}dot{x}=v,^{V}dot{y}=0Vx˙=v,Vy˙​=0虚线的交点为旋转瞬心（ICR），小车上的参考点（{B}{B}{B}的原心）将绕该瞬心做圆弧运动，θ hetaθ为前进方向，其角速度为：θ˙=vRBdot{ heta}=frac{v}{R_B}θ˙=RB​v​转弯半径为：RB=Ltan⁡γR_B=frac{L}{ an{gamma}}RB​=tanγL​γgammaγ为前轮转向角度

小车的完整运动方程为q˙=[θ˙x˙y˙γ˙]=[tan⁡γL0cos⁡θ0sin⁡θ001][vw]dot{q}=egin{bmatrix}dot{ heta}\dot{x}\dot{y}\dot{gamma}end{bmatrix}=egin{bmatrix}frac{ angamma}{L}&0\cos heta&0\sin heta&0\0&1end{bmatrix}egin{bmatrix}v\w\end{bmatrix}q˙​=⎣⎢⎢⎡​θ˙x˙y˙​γ˙​​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​Ltanγ​cosθsinθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​[vw​]

若转向控制为转向角γgammaγ而不是其速率γ˙dot{gamma}γ˙​，则可以简化运动方程，其规范简化模型为：

当转向速率γ˙dot{gamma}γ˙​足够高，使得转向角几乎为瞬时改变，则该假设合理，在这种情况下，γ˙dot{gamma}γ˙​作为状态变量被消除，小车位形为q=(θ,x,y)q=( heta,x,y)q=(θ,x,y)

q˙=[γ˙x˙y˙]=[01cos⁡θ0 sin⁡θ0][vw]dot{q}=egin{bmatrix}dot{gamma}\dot{x}\dot{y}end{bmatrix}=egin{bmatrix}0&1\cos heta&0\\sin heta&0end{bmatrix}egin{bmatrix}v\w\end{bmatrix}q˙​=⎣⎡​γ˙​x˙y˙​​⎦⎤​=⎣⎡​0cosθ sinθ​100​⎦⎤​[vw​]

在当前条件下，当控制输入为(v,w)(v,w)(v,w)时，vvv为汽车前进速度，www为旋转速率，其控制变换为：v=vγ=tan⁡−1(Lwv)v=v\gamma= an^{-1}(frac{Lw}{v})v=vγ=tan−1(vLw​)

在世界坐标系{O}{O}{O}中，Y方向的速度约束为：y˙cos⁡θ−x˙sin⁡θ≡0dot{y}cos{ heta}-dot{x}sin{ heta}equiv0y˙​cosθ−x˙sinθ≡0

≡equiv≡为恒等号，参变量恒为一个常数或恒定表达式时，总等于关系与变量无关。例如函数f(x)≡kf(x)equivkf(x)≡k表示该函数的值始终为k而与x的值无关。

根据不同情况，该模型存在不同的约束

simplecarmodel∣v∣⩽vmax,∣θ∣⩽θmax