标准DH建模与改进DH建模
standard_DH根据DH表示法确定一个一般步骤为每个关节指定参考坐标系，然后确定如何实现任意两个相邻坐标系之间的变换，最后写出机器人的总变换矩阵。如图所示表示了三个顺序关节和两个连杆，每个关节都是可以转动和平移的。第一个关节指定为关节i-1，第二个关节指定为关节i，第三个关节指定为关节i+1。在这些关节前后可能还有其他关节，连杆也是如此表示，连杆i位于关节i与关节i+1之间。1、standard_DH建立每个关节参考坐标系步骤：（1）所有关节，无一例外用z轴表示。如果是关节是旋转的，z轴位于按右手定则选装的方向，如果关节是滑动的，z轴为沿实现运动的方向。在每一种情况下，关节i处的z轴（以及该关节的本地参考坐标系）的下标为i-1。（2）通常关节不一定平行或相交。因此，通常z轴是斜线，但是总有一条距离最短的公垂线，它正交于任意两条斜线。通常在公垂线方向上定义x轴。所以如果aia_iai表示zi−1z_{i-1}zi−1与ziz_izi之间的公垂线，则xix_ixi的方向沿aia_iai。（3）如果两个关节的z轴平行，选取与前一关节的公垂线共线的一条公垂线，可简化模型；如果两个相邻关节的z轴是相交的，那么它们之间没有公垂线，可选取两条z轴的叉积2方向作为x轴，可简化模型。 θ hetaθ角表示绕z轴旋转角，d表示在z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长度，角αalphaα表示两个相邻的z轴之间的角度。
2、standard_DH建模步骤：（1）绕zi−1z_{i-1}zi−1轴旋转θi heta_iθi，它使得xi−1x_{i-1}xi−1和xix_{i}xi互相平行；（2）沿zi−1z_{i-1}zi−1轴平移did_{i}di距离，使得xi−1x_{i-1}xi−1和xix_{i}xi共线；（3）沿xix_{i}xi轴平移aia_{i}ai距离，使得xi−1x_{i-1}xi−1和xix_{i}xi的原点重合；（4）将zi−1z_{i-1}zi−1轴绕xix_{i}xi旋转aia_{i}ai，使得zi−1z_{i-1}zi−1轴与ziz_{i}zi轴对准。 通过右乘四个运动的四个矩阵就可以得到变换矩阵i−1Ti^{i-1}T_ii−1Ti：i−1Ti=Rot(zi−1,θi)×Trans((zi−1,di)×Trans((xi,ai)×Rot(xi,αi)egin{aligned}^{i-1}T_i=Rot(z_{i-1}, heta_i) imesTrans((z_{i-1},d_i) imesTrans((x_{i},a_i) imesRot(x_{i},alpha_i)end{aligned}i−1Ti=Rot(zi−1,θi)×Trans((zi−1,di)×Trans((xi,ai)×Rot(xi,αi)
i−1Ti=[cθi−sθi00sθicθi0000100001][10000100001di0001][100ai010000100001][10000cαi−sαi00sαicαi00001]^{i-1}T_i=egin{bmatrix}c heta_i&-s heta_i&0&0\s heta_i&c heta_i&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{bmatrix}egin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&d_i\0&0&0&1end{bmatrix}egin{bmatrix}1&0&0&a_i\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{bmatrix}egin{bmatrix}1&0&0&0\0&calpha_i&-salpha_i&0\0&salpha_i&calpha_i&0\0&0&0&1end{bmatrix}i−1Ti=⎣⎢⎢⎡cθisθi00−sθicθi0000100001⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡10000100001000di1⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡100001000010ai001⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡10000cαisαi00−sαicαi00001⎦⎥⎥⎤
i−1Ti=[cθi−sθicαisθisαiaicθisθicθicαi−cθisαiaisθi0sαicαidi0001]^{i-1}T_i=egin{bmatrix}c heta_i&-s heta_icalpha_i&s heta_isalpha_i&a_ic heta_i\s heta_i&c heta_icalpha_i&-c heta_isalpha_i&a_is heta_i\0&salpha_i&calpha_i&d_i\0&0&0&1end{bmatrix}i−1Ti=⎣⎢⎢⎡cθisθi00−sθicαicθicαisαi0sθisαi−cθisαicαi0aicθiaisθidi1⎦⎥⎥⎤
modified_DH1、modified_DH建立每个关节参考坐标系步骤：（1）找出关节轴i和i+1之间的公垂线或关节轴i和i+1的交点，以关节轴i和i+1的交点或公垂线与关节轴i的交点作为连杆坐标系｛i｝的原点；（2）规定ziz_izi轴沿关节轴i的指向；（3）规定xix_ixi轴沿公垂线的指向，如果关节轴i和i+1相交，则规定xix_ixi垂直于关节轴i和i+1所在平面。（4）按照右手定则确定yiy_iyi轴
2、modified_DH建模步骤：（1）aia_iai=沿xix_ixi轴，从ziz_izi移动到zi+1z_{i+1}zi+1的距离；（2）αialpha_iαi=绕xix_ixi轴，从ziz_izi旋转到zi+1z_{i+1}zi+1的角度；（3）did_idi=沿ziz_izi轴，从xi−1x_{i-1}xi−1移动到xix_{i}xi的距离；（4）θi heta_iθi=沿ziz_izi轴，从xi−1x_{i-1}xi−1旋转到xix_{i}xi的角度； 变换矩阵可以写成：i−1Ti=RX(αi−1)×DX(ai−1)×RZ(θi)×DZ(di)egin{aligned}^{i-1}T_i=R_X(alpha_{i-1}) imesD_X(a_{i-1}) imesR_Z( heta_{i}) imesD_Z(d_{i})end{aligned}i−1Ti=RX(αi−1)×DX(ai−1)×RZ(θi)×DZ(di)
i−1Ti=[cθi−sθi0ai−1sθicαi−1cθicαi−1−sαi−1−sαi−1disθisαi−1cθisαi−1cαi−1cαi−1di0001]^{i-1}T_i=egin{bmatrix}c heta_i&-s heta_i&0&a_{i-1}\s heta_icalpha_{i-1}&c heta_icalpha_{i-1}&-salpha_{i-1}&-salpha_{i-1}d_i\s heta_isalpha_{i-1}&c heta_isalpha_{i-1}&calpha_{i-1}&calpha_{i-1}d_i\0&0&0&1end{bmatrix}i−1Ti=⎣⎢⎢⎡cθisθicαi−1sθisαi−10−sθicθicαi−1cθisαi−100−sαi−1cαi−10ai−1−sαi−1dicαi−1di1⎦⎥⎥⎤
SDH与MDH比较（1）固连坐标系不同SDH方法关节i上固连的是i-1坐标系，即坐标系建在连杆的输出端；MDH关节i上固连的是i坐标系，即坐标系建在连杆的输入端。（2）坐标系变换顺序不同SDH方法是ZX类变换：先绕着i-1坐标系的的Zi-1轴旋转和平移，再绕着坐标系i的Xi轴进行旋转和平移；MDH方法是XZ类变换：先绕着i坐标系的的Xi轴旋转和平移，再绕着坐标系i的Zi轴进行旋转和平移；
8 机器人正运动学
目录 1.引言2.建立DH坐标系的技巧2.1理清关节和连杆2.2画z 轴2.3确定x 轴2.3.1x轴方向2.3.2x轴起始点（坐标系原点）2.4小结3.总结1.引言关于DH参数上一篇文章介绍了基本概念和物理意义，但是还有一些内容没有提到。这篇文章主要介绍DH坐标系建立的一些技巧。
2.建立DH坐标系的技巧DH参数本身并不复杂，但是最初我在应用DH参数对机器人建立坐标系时的感受就一个字，乱。乱的原因是比较多的，罗列一下有这么几个点：
在机器人上不太容易一一区分出各个连杆，而且连杆编号也容易乱无法确定一段距离是连杆偏距 还是连杆长度 难以确定坐标系的 轴方向建立完坐标系后发现通过DH变换无法使坐标系重合那么建立DH坐标系有没有什么技巧呢？还真有，而且很有效。下面我们来介绍一下如何快速建立机器人的DH坐标系。
2.1理清关节和连杆第一步至关重要，你得首先搞清楚哪个是关节1，哪个是连杆1，与连杆1固连的坐标系1原点在哪里等等。还是想再次强调DH坐标系是建立在连杆的传动轴也就是远离基座的那个轴。因此对于串联机器人来说关节，连杆，坐标系按照距离基座由近到远排列应该是这样的：首先肯定是关节1，其次是安装在关节1上的连杆1，然后是与连杆1固连的坐标系1，之后是关节2。请注意连杆1的坐标系 轴轴线实际是连杆2的驱动轴。
我们以一个六轴机器人建立DH坐标系为例，为了方便看清楚各个连杆，我把每个连杆涂成了不同的颜色，如下图所示。
想象一下如果没有给各个连杆涂上颜色，你还能一下子看出所有的连杆吗？你还能一下子区分出连杆1的坐标系应该建立在哪里吗？
2.2画z 轴第二步我们要确定各个连杆坐标系的 轴，这一步实际上是比较容易的，因为按照规则 轴应该是和关节轴同向的。所以这里你唯一需要搞清楚的是这些 轴分别是固连在哪个连杆上。由于DH参数是在传动轴上建立坐标系的（请原谅我已经无数次在强调这个问题，因为我曾经无数次掉进这个坑里），所以 轴肯定是建立在连杆远离基座一侧的那个轴上的。
以下我们把与连杆固连的坐标系涂成与连杆相近的颜色。请先在自己的脑海中构思一下，看看你建立的 轴与下面的图是一致的吗。
2.3确定x 轴第三步我们需要确定 轴，这一步是最关键也是比较困难的一部分。在这里需要确定的有两点，第一点你需要确定 轴的方向第二点你得搞清楚坐标系的原点在哪里，也就是需要确定 轴的起始点。
2.3.1x轴方向我们先解决第一点。DH坐标系的 轴是连杆的驱动轴和传动轴的公垂线。所以 轴的方向相对而言是比较容易获得的。我们知道两个不平行的向量的叉乘（外积）就是两个向量的公垂线了。所以我们定义：
这样你就可以确定连杆坐标系 轴的轴线了。最终 轴的指向你可以统一让它们指向传动轴。当驱动轴和传动轴平行时也很简单，你只需要画一条与两个轴都垂直且相交的向量，并且这个向量指向传动轴就可以了。
2.3.2x轴起始点（坐标系原点）接下来解决第二点。怎么确定坐标系 轴的起点（其实就是坐标系原点）。提前说明一下，当连杆的驱动轴和传动轴是异面直线时这个问题是不存在的，因为异面直线的公垂线有且仅有一条，这个时候原点已经随着 轴的确定一起确定下来了（就是 轴和 轴的交点）。
除了异面直线之外，驱动轴和传动轴还有两种关系，一个是平行关系，另一个是相交关系。这两种关系下驱动轴和传动轴的公垂线有无数条。在这个时候要如何确定坐标系的原点呢？
按照DH的规则，两个 轴之间公垂线长度代表的是抽象的连杆长度，两个 轴的公垂线长度代表的相邻两个连杆之间的偏距。你在确定坐标系原点时就需要考虑这些参数物理含义了。由于 轴已经全部确定了， 轴的方向也确定了，所以这个时候各个连杆的长度也就是DH参数中的 已经确定了。那么我们在选择 轴的起点时必须要保证经过上一个连杆i-1的坐标系绕 轴旋转和沿 轴平移后能让 和 重合。当你发现经过这样的变换不能让和重合时说明你的连杆i坐标系选择的原点有问题。
上面这么说还是太晦涩了，我们举个例子。上面的六轴机器人连杆2的驱动轴和传动轴平行，连杆3的驱动轴和传动轴相交，我们就以这两个连杆为例来说明坐标系原点的确定过程。
在这之前我们还是先把基坐标系和连杆1坐标系确定下来，通常基座的 轴指向机器人的正前方。因此基坐标系很容易就确定下来了。连杆1的驱动轴和传动轴是异面直线，因此连杆1的坐标系 轴也可以轻松地根据前面提到的叉乘公式确定。这样基座和连杆1的坐标系就确定完了，如下图所示。
接下来的连杆2和连杆3就比较特殊了。当你试图找到 和 的公垂线时你发现又无数条。对于这种平行的连杆怎么确定其 轴呢？其实很简单，你的连杆1坐标系不是已经确定好了嘛，只需要过这个坐标系原点作垂线与 相交就可以了。这其实是最简单的连杆，不要把这个问题想复杂了就好。如果不相信，你可以按照前面说的规则检验一下。连杆2的坐标系确定之后如下图所示。
接下来就是连杆3了，你会发现连杆3的驱动轴和传动轴是相交的。连杆3的 方向是容易确定的，因为只要驱动轴和传动轴不平行我们就可以利用叉乘公式确定确定 轴的方向。但是同样的，这样的 轴有无数个，要怎么选择呢？你可以试一下选 和 的交点。先告诉各位这是对的。其实可以多找几个点，你会发现无论原点选在除这个点之外的任何地方，你要么需要在某个中间步骤向轴平移，要么就是最终你需要在 轴方向再平移一段。这样我们就确定了连杆3的坐标系，如下图所示。观察后你会发现两个坐标系的原点重合，这说明连杆长度和连杆偏距都为0，这就是此类连杆的一个特点。
后面的连杆4也是类似的，驱动轴和传动轴相交，注意图里面的 很不明显，不要把 当成 哦。叉乘后发现 向下，原点当然也是在 和 的交点。后面的连杆也都大同小异。这里我就不一一介绍了。
最后的六轴机器人DH坐标系建立完成后如下图所示。
最后我们写出这个机器人的DH参数表如下表所示。
连杆编号offset1020030004050060000
关于offset项是叠加在上面的偏置量，你可以理解为机器人处于零位时，驱动轴和传动轴依然存在夹角。
2.4小结前面感觉啰嗦了很多，不知道有没有说清楚，这里简单总结一下：当连杆驱动轴和传动轴是异面直线，公垂线（唯一）就是连杆的 轴；当连杆的驱动轴和传动轴平行时，找到上一个连杆的坐标系原点，向当前连杆的 轴作垂线，垂足就是当前连杆原点，垂线就是 轴；当连杆的驱动轴和传动轴相交时，交点就是连杆坐标系原点，驱动轴和传动轴的叉乘就是 轴方向。
这一块还是需要各位仔细去品味的，相信你经过不断的思考和尝试，一定可以变得通透。写这篇博客挺费力的，作图时间很长，但是我真的在这个过程里受益匪浅，对DH坐标系的理解也更进了一步。如果你一下子还不能完全理解，千万别着急，可以先放着，过几天再看，相信一定会有新的收获。
3.总结这篇文章我们主要介绍了DH坐标系建立的一些技巧，下一篇文章会介绍修改DH参数以及和标准DH参数之间的差别。由于个人能力有限，所述内容难免存在疏漏，欢迎指出，欢迎讨论。
下一篇：9.机器人正运动学---修改DH参数