人工智能技术路线之一 线性代数可以做什么
0分享至在人工智能大热的今天，你需要知道线性代数在人工智能领域的作用。
下面列出的只是线性代数能做的一小部分。
下次有人想知道线性代数的意义是什么时，请把它们发送到这里。我写了一篇关于数学和编程的博客，我一直看到线性代数在计算机科学中的应用。这里有一个简短的清单，其中包含了一小部分你可以用线性代数做的事情。
搜索引擎的排名
线性代数中最引人注目的用法（不管你是否知道）都是在谷歌的创建中。他们原来的排名算法，当然已经变得更加复杂，使用了大量的线性代数来排序哪些网页应该首先出现。更一般地，当你想要分析网络中的随机行走时，你可能需要一些线性代数。这里是我写的一系列博客文章（http://jeremykun.com/）。
线性规划
应用最广泛的线性代数肯定是最优化，而最广泛使用的一类优化是线性规划。你可以用线性规划优化预算、饮食和工作路线，这只会破坏应用程序的表面。下面是关于线性规划背后的数学的一系列（仍在进行中）。为解决他们的基本的技术，称为单纯形算法，本质上是一种增强了高斯消去。
纠错码
线性代数的另一个不可见但广泛的用途是编码理论。问题是在这样一种方式，如果编码数据篡改一点编码的数据，还可以恢复未编码的数据。这种方案称为纠错码，最简单的方法是在矢量空间中对数据进行矢量编码。在DVD中使用纠错码防止划痕破坏电影。他们也被用于深空探测器，将数据传回地球，他们让我们得到了萨图恩和Jupiter的第一张特写照片。这里有一篇文章描述了最简单的纠错码，汉明码（http://jeremykun.com/2015/03/02/hammings-code/）。
信号分析
信号分析领域为编码、分析和操作“信号”提供了大量有用的工具，这些信号可以是音频、图像、视频，或者像X光和光线通过晶体折射的东西。理解傅立叶变换的最简单的方法是执行基本变化的线性映射。傅立叶分析甚至被用来制作艺术。下面是一系列从零开始推导傅立叶分析的第一篇文章（http://jeremykun.com/2012/04/25/the-fourier-series/），虽然你对线性代数有很强的理解，但是大部分可以缩写，跳过，或者略读。傅立叶分析的一个独立的表亲也是计算机科学中许多理论技术的一部分。
图形
几乎所有的图形创新，因为计算机已经存在来自视频游戏和电影。图形的中心部分是将三维场景投射到二维屏幕上。投影已经是一个线性映射。除此之外，旋转、缩放和透视都是用线性代数正确地实现和分析的。
面部识别
一个很酷的（但不是最好的）自动面部识别方法使用一种叫做主成分分析的线性代数技术。基本上这是找来表示人脸图像数据库的一个特别好的基础上，利用特征向量（特征脸方法）重建图像。这里有一篇文章描述了没有先验知识的方法，以及一个更一般的文章，它显示了任何数据集的PCA。这是一张什么样的“脸”的样子。
预测：最简单的预测模型是线性模型，这些都是用线性代数发展和理解的。例如，这里是一篇描述如何进行线性回归的文章（http://jeremykun.com/2014/08/26/when-greedy-algorithms-are-perfect-the-matroid/）。
贪心算法
贪心算法的特点是一种线性系统概括称为拟阵。换句话说，每一个问题的贪婪算法的解可以表示为一个拟阵，每阵可以用贪心算法优化。理解线性代数不是要求了解拟阵，但它使过程更容易。这里有一篇文章（http://jeremykun.com/2014/12/08/a-motivation-for-quantum-computing/）证明了我刚才说的话。
量子计算
所有的量子计算都是线性代数，就像一般的量子力学一样。只要你理解线性代数，你就可以理解量子计算机如何在没有物理的情况下破解密码系统。下面是正在进行中的一系列文章的第一篇，它让你了解了线性代数是主要的工具。
线性代数的应用比我列出的要多得多。
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☞░老猿Python博文目录░一、向量空间（线性空间）及基域线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念。
1.1、详细定义向量空间也称线性空间，设V是一个非空集合，P是一个数域。若：
在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和;在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积;加法与纯量乘法满足以下条件：1)、α+β=β+α，对任意α，β∈V.2)、α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.3)、存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.4)、对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.5)、对P中单位元1，有1α=α(α∈V).6)、对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα)7)、对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.8)、对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。当P是实数域时，V称为实线性空间；当P是复数域时，V称为复线性空间。1.2、公理化定义设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V的两个运算：
向量加法:V+V→V,记作v+w，v、w∈V标量乘法:F×V→V,记作a·v，a∈F,v∈V符合下列公理(∀a,b∈F及u,v,w∈V)：向量加法结合律：u+(v+w)=(u+v)+w；向量加法交换律：v+w=w+v；向量加法的单位元：V里有一个叫做零向量的0，∀v∈V,v+0=v；向量加法的逆元素：∀v∈V,∃w∈V，使得v+w=0；标量乘法分配于向量加法上：a(v+w)=av+aw；标量乘法分配于域加法上:(a+b)v=av+bv；标量乘法一致于标量的域乘法:a(bv)=(ab)v；标量乘法有单位元:1v=v,这里1是指域F的乘法单位元。V闭合在向量加法下：v+w∈VV闭合在标量乘法下：av∈V有些教科书还强调以下两个公理：V闭合在向量加法下：v+w∈VV闭合在标量乘法下：av∈V
V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。
向量空间举例若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间，V中向量就是m×n矩阵；域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)构成的集合P对于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)与纯量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。二、线性相关和线性无关2.1、线性表示假定a1、a2、…、as是s个n维向量，k1,…，ks是s个数，那么：k1a1+k2a2+…+ksas称其为a1、a2、…、as的线性组合，如果：a=k1a1+k2a2+…+ksas那么a也是a1、a2、…、as的线性组合，或者叫a1、a2、…、as的线性表示。
2.2、线性相关、线性无关在一个线性空间中，如果一组向量a1、a2、…、as（其中s>=1）从：k1*a1+k2*a2+......+ks*as=0可以推出k1=k2=…=ks=0，则称这组向量线性无关。
反之，如果在一个线性空间中，如果存在一组不全为0的k1、k2、…、ks（s>=1），一组向量a1、a2、…、as有如下等式成立：k1*a1+k2*a2+......+ks*as=0则称这组向量线性相关。
https://www.zhihu.com/question/21605094
2.3、线性子空间设W为向量空间V的一个非空子集，若W在V的加法及标量乘法下是封闭的，且零向量0∈W，就称W为V的线性子空间给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作span(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}给出一个向量集合B，若它的扩张就是向量空间V，则称B为V的生成集合给出一个向量集合B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若V={0}，唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V最小的生成集三、极大线性无关组3.1、简介极大线性无关组（maximallinearlyindependentsystem）是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组。
设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。
V中子集的极大线性无关组不是唯一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。
V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地，当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。
3.2、定义设有向量组A：a1、a2、…、as，若A中能选出r个向量，满足:(1)向量组A0：a1、a2、…、ar线性无关；(2)向量组A中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关，则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）。
线性方程组系数矩阵的极大线性无关组称为该线性方程组的基础解系。
四、线性空间的基前面2.2部分简单介绍了基的概念，由于基的重要性，本部分对基进行一个详细的介绍。
4.1、简介在线性代数中，基(basis)（也称为基底），线性空间的基（basisofalinearspace）是描述、刻画向量空间的基本工具。
向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将基中元素的个数称作向量空间的维数。
不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。
任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）是相等的。
一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能将它扩充为一组基。
4.2、定义给定一个向量空间V，V的一组基B是指V里面的可线性生成V的一个线性无关子集。B的元素称为基向量。
更详细来说，设B={e1,e2,…,en}是在系数域F（比如实数域R或复数域C）上的向量空间V的有限子集。如果满足下列条件：就说B是向量空间V的一组基。第二个条件中，将一个向量v∈V表示成λ1*e1+λ2*e2+...+λn*en的形式，称为向量v在基底下的分解。(λ1,λ2,…,λn)称为向量v在基底B下的分量表示。
只存在有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间，必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间V的一个子集(有限或无限)B满足：它的所有有限子集B’⊂B，满足上面的第一个条件（即线性无关）；对任意v∈V，可以选择(λ1,λ2,…,λn)∈Fn，以及e1、e2、…、en∈B，使得:v=λ1*e1+λ2*e2+...+λn*en。就称B是无限维空间V的一组基。
4.3、解释设B是向量空间V的子集，则B是基，当且仅当满足了下列任一条件：
V是B的极小生成集，就是说只有B能生成V，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间B是V中线性无关向量的极大集合，就是说B在V中是线性无关集合，而且V中没有其他线性无关集合包含它作为真子集V中所有的向量都可以按唯一的方式表达为B中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标另外关于基和向量空间有如下规则：
一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度，这个结果叫做维度定理任何的向量空间都拥有一组基，任何一组基都对应一个向量空间如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果L是在向量空间中的一个线性无关集合而集合G是一个包含L而且能够生成V的集合，则存在V的一组基B，它包含了L而且是G的子集：L⊆B⊆Gn维线性空间中，任意n个线性无关的向量构成的向量组，都是空间的基。相关证明需要使用更多的知识，老猿没有进一步研究，大家记得即可。4.4、例子考虑所有坐标(a,b)的向量空间R，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1=(1,0)和e2=(0,1):假设v=(a,b)是R中的向量，则v=a(1,0)+b(0,1)。而任何两个线性无关向量如(1,1)和(−1,2)，也形成R的一个基。给定自然数n和n个线性无关的向量e1,e2,…,en，e1,e2,…,en可以在实数域上生成R。因此，它们也是一个基而R的维度是n，这个基叫做R的标准基4.5、有序基和坐标基是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。例如将：B={e1,e2,…,en}写成有序向量组：（e1,e2,…,en）。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，该数组称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。
定义：在线性空间Vn(F)中，设{α1，α2，…，αn}是一组基，β为V中的一个元素，{α1，α2，…，αn，β}线性相关，故β可由α1，α2，…，αn唯一线性表示，因此有：则称数x1,x2,…,xn是β在基{α1，α2，…，αn}下的坐标。
更多参考资料请参考百度文库关于基的介绍。
五、小结本文介绍了线性空间的概念，线性空间又称向量空间，每个线性空间都有对应的基域、零元，支持对应的向量加法和标量乘法。线性空间中的一组向量满足向量加法及标量乘法在组内封闭，且组内包含零向量，则构成线性子空间。
线性空间中的多个向量构成的一组向量要么是线性相关的，要么是线性无关的。一个向量空间中的极大线性无关组是该向量空间的基，极大线性无关组所含向量的个数就是对应向量空间的维数。
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