人工智能 清览作业2
1.请用真值表的方法证明下列语句是有效的，可满足的，还是不可满足的？（20分）答：(P∧Q)∨⌝Q是可满足的，真值表如下：从真值表可得，在第1、3、4种模型下为真，第2种模型下为假，故(P^Q)∨⌝Q是可满足的。
α=((P∧Q)⇒R)⇔((P⇒R)∨(Q⇒R))是有效的，真值表如下：从真值表可得，在所有模型下都为真，故((P∧Q)⇒R)⇔((P⇒R)∨(Q⇒R))是有效的。
2.考虑下列的一阶逻辑表达式：其中x,y,z,w,s,t是变量，a,b,c是常数。a)将1,2,3式子转换为CNF形式(9分)b)从上述知识库(KB)中使用归结算法证明结论equal(c,a)。答：a.转为为合取范式(CNF)形式：
x[equal(x,x)]删除全程量词：equal(x,x)得CNF：equal(x,x)
y,z[equal(y,z)⇒equal(z,y)]消除蕴含词：y,z[¬equal(y,z)∨equal(z,y)]删除全称量词：¬equal(y,z)∨equal(z,y)得到CNF：¬equal(y,z)∨equal(z,y)
w,s,t[equal(w,s)∧equal(s,t)⇒equal(w,t)]消除蕴含词：w,s,t[¬(equal(w,s)∧equal(s,t))∨equal(w,t)]将否定符号内移：w,s,t[(¬equal(w,s)∨¬equal(s,t))∨equal(w,t)]删除全程量词：(¬equal(w,s)∨¬equal(s,t))∨equal(w,t)得到CNF：¬equal(w,s)∨¬equal(s,t)∨equal(w,t)
b.归结算法证明结论equal(c,a)：变量代换：(1)将(2)中¬equal(y,z)∨equal(z,y)采用y-b，z-c代换得：¬equal(b,c)∨equal(c,b)(2)将(3)中¬equal(w,s)∨¬equal(s,t)∨equal(w,t)采用w-c，s-b，t-a代换得：¬equal(c,b)∨¬equal(b,a)∨equal(c,a)(3)归结推理过程：从推理结果可得，假设不成立，即equal(c,a)得证。
3.把下列表达式转换为CNF形式：xyzq(z,y,x)→(¬∃x{y[p(x,y)→q(x,y)]})答：消除蕴含词：¬(xyzq(z,y,x))∨(¬∃x{y[¬(p(x,y)∨q(x,y))]})将否定符号内移：∃xy∃z¬q(z,y,x)∨(x{∃y[p(x,y)∨q(x,y)]})变量标准化：∃xy∃z¬q(z,y,x)∨(m{∃n[p(m,n)∨q(m,n)]})消除存在量词（∃xg(x)）：¬q(g(z),g(y),g(x))∨(m[p(m,g(n))∨q(m,g(n))])删除全程量词：¬q(g(z),g(y),g(x))∨(p(m,g(n))∨q(m,g(n)))得到CNF：¬q(g(z),g(y),g(x))∨p(m,g(n))∨q(m,g(n))
4.考虑从一副标准的52张纸牌（不含大小王）中分发每手5张牌的扑克牌域。假设发牌人是公平的。a.在联合概率分布中共有多少个原子事件（即，共有多少种5张手牌的组合）？b.每个原子事件的概率是多少？c.拿到大同花顺（即同花的A、K、Q、J、10）的概率是多少？d.四同张（4张相同的牌，分别为4种花色）的概率是多少？答：
5.参考下图中的贝叶斯网络，其中布尔变量I=聪明(intelligence)H=诚实(Honest)P=受欢迎的(Popular)L=大量的竞选资金E=竞选成功(a)根据该网络结构，是否可以得到P(I,L,H)=P(I)P(L)P(H),如果不是，请给出正确的表达式；(6分)(b)根据该网络结构计算P(i,h,¬l,p,¬e)的值，只有答案没有步骤不得分；(8分)(c）假设已知某个人是诚实的，没有大量的竞选资金但是竞选成功了，那么他是聪明的概率是多少？只有答案没有过程不得分。(11分)答：1)不是。因为H→L，说明L是H的条件概率。正确的表达式：P(I,L,H)=P(I)P(L|H)P(H)
2)P(i,h,¬l,p,¬e)=P(I)*P(h)*P(¬l|h)P(p|i,h,¬l)P(¬e|p)=0.50.1(1-0.3)0.4(1-0.6)=0.0056
3)P(i|h,¬l,e)=P(i,h,¬l,e)/P(h,¬l,e)=(P(i,h,¬l,e,p)+P(i,h,¬l,e,¬p))/P(h,¬l,e)=(P(i)P(h)P(¬l|h)P(p|i,h,¬l)P(e|p)+P(i)P(h)P(¬l|h)P(¬p|i,h,¬l)P(e|p))/P(h,¬l,e)=(0.50.10.7*(0.40.6+0.60.1))/P(h,¬l,e)=0.0105/P(h,¬l,e)
P(¬i|h,¬l,e)=P(¬i,h,¬l,e)/P(h,¬l,e)=(P(¬i,h,¬l,e,p)+P(¬i,h,¬l,e,¬p))/P(h,¬l,e)=(P(¬i)P(h)P(¬l|h)P(p|¬i,h,¬l)P(e|p)+P(¬i)P(h)P(¬l|h)P(¬p|¬i,h,¬l)P(e|¬p))/P(h,¬l,e)=(0.50.10.7*(0.30.6+0.70.1))/P(h,¬l,e)=0.00875/P(h,¬l,e)
因为P(i|h,¬l,e)+P(¬i|h,¬l,e)=0.0105/P(h,¬l,e)+0.00875/P(h,¬l,e)=1，解得P(h,¬l,e)=0.01925故P(i|h,¬l,e)=P(i,h,¬l,e)/P(h,¬l,e)=0.0105/0.01925≈0.54545这个人是聪明的概率是0.54545